“请为一切不真实事物感到骄傲，因为我们高于这个世界！”
群
群（$\text{group}$）是由一个集合及一个二元运算符组成的，符合群公理的代数结构。
一般表示成 $(G,\cdot)$ ，其中 $G$ 是集合，$\cdot$ 表示一种二元运算。$G$ 中的元素 $a,b$ 所进行的运算表示为 $a\cdot b$ 。
群公理
封闭性
满足 $\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$ 的性质。
则有 $(\mathbb Z,+)$ 因为任何两个整数的和依然是整数，还有 $(R,\times)$ ，任意两个实数的积依然是实数。
结合律
其结合律（$\text{associativity}$）与所谓的结合律如出一辙，即：
$\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
单位元 / 幺元
在集合 $G$ 中存在元素 $e$ ，使 $\forall a\in G,e\cdot a=a\cdot e=a$ 成立，则称 $e$ 为 $G$ 是该群的单位元，也称幺元（$\text{identity element}$）。可以证明 $e$ 唯一。
逆元
对于 $G$ 中的任何一个元素 $a$ 都存在一个元素 $b\in G$ ，使 $a\cdot b=b\cdot a=e$ ，则 $b$ 为 $a$ 的逆元（$\text{inverse element}$），记作 $a^{-1}$ 。
生成元
存在一个元素 $g$ 使得群 $G$ 能够表示为 $G=\{g^0,g^1…g^k\}$ 的形式，则 $G$ 为循环群，而 $g$ 称为 $G$ 的生成元。
群的衍生结构
代数系统
满足封闭性的集合，如 $(\mathbb N,+),(R,\times)$ 。
半群
其运算存在结合律的代数系统，称为半群（$\text{semigroup}$）。
幺半群（幺群）
存在单位元的半群，称为幺半群（$\text{monoid}$）。
有性质：幺群中单位元唯一。
证明：设存在两个单位元 $e_1,e_2$
则有：$e_1=e_1e_2=e_2$ 。
$\text{Q.E.D}$
左逆与右逆
若存在 $xy=1$ ，则 $x$ 为 $y$ 的左逆，$y$ 为 $x$ 的右逆。
性质一：如果对于 $x$ 有 $y$ 使得 $xy=yx=1$ ，则称 $y$ 为 $x$ 的逆元。
性质二：逆元唯一。
群
若幺群里的每个元素都存在其逆元，则该幺群称为群。
常见的群有 $(\mathbb Z,+)$ 其中单位元是 $0$ ，元素 $a$ 的逆元是 $-a$ 。
阿贝尔群
满足交换律（$a\cdot b=b\cdot a$）的群称为阿贝尔群（$\text{Abelian group}$），又称交换群（$\text{commutative group}$）。
循环群
具有生成元的阿贝尔群称为循环群。
群同态
群同态是一种保持群结构的函数。
例如：从群 $(G,\cdot)$ 到 群 $(H,\ast)$ 的同态是一个函数 $\varphi:G\to H$ 使 $\forall a,b\in G$ ，满足 $\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\ast\varphi(b)$
这里的 $\cdot,\varphi$ 和 $\ast$ 都并不一定是本来的含义。
子群
子群是一个被包含在更大的群 $G$ 内的一个群 $H$ ，满足：$H$ 的集合是 $G$ 集合的子集，且 $H,G$ 的操作是相同的。
其中，$G$ 的单位元素必须包含在 $H$ 中。且如果 $h_1,h_2$ 在 $H$ 中，则 $h_1\cdot h_2,h_1^{-1},h_2^{-1}$ 都应在 $H$ 中。
所以 $H$ 中的元素和在 $G$ 限制下为 $H$ 的群操作，构成了一个群体。
也有数学意义下的定义：群 $(G,\cdot)$ 中，若集合 $A\subseteq G$ ，且 $(A,\cdot)$ 是一个群。则记作 $A\le G$ ，$A$ 是 $G$ 的子群。
判断子群（判断 $A$ 是否是 $G$ 的子群）：
- $\varnothing\ne A\subset G$ ；
- $\forall a,b\in A,ab^{-1}\in A$ 。
前者突出 $A$ 和 $G$ 集合的从属关系，后者强调 $A$ 的群结构。
群的陪集分解
设群 $(G,\cdot)$ ，而有群 $H$ 为 $G$ 的子群，$g$ 为 $G$ 中元素，则：
- $g\cdot H=\{g\cdot h,h\in H\}$ ，为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集（注意，指得是 $g\cdot H$ 的结果是 $H$ 的左陪集）；
- $H\cdot g=\{h\cdot g,h\in H\}$ ，为 $H$ 在 $G$ 中的右陪集（注意，这里的运算并不一定满足交换律，所以顺序不能换）。
这里的陪集结果是一个集合。
陪集性质：
- 设 $H\le G$ ，且存在陪集 $a_1H,a_2H$ ，则满足 $a_1H=a_2H$ 或 $a_1H\cap a_2H$ 。
若 $a_1H\cap a_2H=\varnothing$ ，则设 $a_1h=a_2h,h\in H$ ，则有 $a_1H=bh’h^{-1}=bH$
$\operatorname{Q.E.D}$
这是陪集一个非常重要的结论，而且这和 $\operatorname{SAM}$ 的 $endpos$ 结论如出一辙。
- 设 $A,B$ 为 $G$ 的子群，且有 $xA=yB,x,y\in G$ ，则 $A=B$ ，且不同子群有不同陪集。
有 $xa=yb,a\in A,b\in B$ ，则 $yB=xA=yba^{-1}A=ybA$ ，则 $A=b^{-1}B=B$ 。
$\operatorname{Q.E.D}$
- 设 $H$ 是 $G$ 的子群，对 $G$ 进行陪集分解得到 $G=H\cup a_1H\cup … \cup a_{r-1}H$ ，则称 $r$ 为子群 $H$ 的指数（$\text{index}$），记作 $[G:H]$ 。
阶
记一个群 $G$ 的阶定义为 $G$ 中包含的元素个数，表示为 $\mid G\mid$ 。
其中元素 $g\in G$ 的阶表示为使 $g^n=1$ 成立的最小正整数 $n$ 。若 $g^n\ne 1$ 恒成立，则 $g$ 为无限阶元素，否则 $g$ 为有限阶元素。
拉格朗日定理
拉格朗日定理（$\text{Lagrange}$）的理论：若有 $A\le G$ ，则 $|G|=|A|\cdot[G:A]$ 。
$\text{Lagrange}$ 定理的证明分为三步，总体思路为：构造一个等价关系，使 $H$ 的每个左陪集都是其中的等价类。
- 构造一个二元关系 $a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$ ，则证明：$a\sim b$ 是 $G$ 上的等价关系。
自反性：$g\sim g:g\cdot g^{-1}=1\in G$
对称性：$\displaystyle g\sim h\Rightarrow gh^{-1}\in G\Rightarrow(gh^{-1})^{-1}=hg^{-1}\in G\Rightarrow h\sim g$
传递性：$g\sim h,h\sim i\Rightarrow gh^{-1}\in G,hi^{-1}\in G\Rightarrow gh^{-1}hi^{-1}=gi^{-1}\in G\Rightarrow g\sim i$
- 证明 $\sim$ 的等价类是 $H$ 的左陪集。
因为有 $b\in aH$ 时，当且仅当 $a^{-1}b\in H$ 成立。
所以有 $\sim$ 的 $[a]=aH$ 。
- 证明 $H$ 的所有左陪集要么 $aH=bH$ ，要么 $aH\cap bH=\varnothing$ 。
这个在陪集性质里已经证过了。
则等价关系 $\sim$ 构成 $G$ 的一个划分。
因为每一个等价类都是一个左陪集，且陪集的元素个数表示为 $|H|$ ，所以 $|G|=$ 等价类的数量 $\times|H|$ 。
用数学公示表示为：$|G|=|A|[G:A]$ ，从而可以得到指数的新定义：$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ 。
也可以写作：若 $H\le G$ ，则 $H$ 的阶整除 $G$ 的阶。（因为 $[G:H]$ 肯定是整数）
$\text{Lagrange}$ 定理推论：若 $A\le B\le G$ ，则 $[G:A]=[G:B]\cdot[B:A]$ 。
环
环（$\text{ring}$）是一个定义了两个二元运算 $+,\cdot$ 的集合 $S$ ，记作 $(S,+,\cdot)$。其中有：
- $(S,+)$ 构成交换群，单位元为 $0$ ，加法逆元是 $-a$ 。
- $(S,\cdot)$ 构成半群。
- 混合运算符合分配律（$\text{distributivity}$），即 $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 和 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ 成立。
在抽象代数中，研究环的分支为环论。
环的衍生结构
交换环
乘法满足交换律的环 $R$ 称为交换环（$\text{commutative ring}$）。
幺环
存在乘法单位元 $1$ 的环 $R$ 称为幺环（$\text{ring with identiy}$）。
除环
环上所有非 $0$ 元素 $a$ 都存在乘法逆元 $a^{-1}$ 的环 $R$ 称为除环（$\text{division ring}$）。
域
域（$\text{field}$）是一种比环性质更强的代数结构，通俗地讲，域是一种交换除环。
在抽象代数中，同样存在域论的一个研究分支。