数列与极限 #2

“当我趋近于你，我们之间的感情便成为了确值”

实数的完备性定理（部分）

单调有界定理

1. 若数列 $\{ x_n \}$ 递增且有上界，则

   $$\lim \limits_{n \to +\infty} x_n = \sup \{ x_n | n \in N \}$$

2. 若数列 $\{ x_n \}$ 递减且有下界，则

   $$\lim \limits_{n \to +\infty} x_n = \inf \{ x_n | n \in N\}$$

柯西收敛原理

设 $ \{ x_n \} $ 是一个数列，如果对于任意一个 $\epsilon > 0$ ，存在 $N \in \mathbb{Z^}$ ，只要 $n$ 满足 $n > N$ ，则对于任意正整数 $p$ 而言，都有 $| x_{n+p}-x_n | < \epsilon$ ，这样的数列 $\{ x_n \}$ 便称为*柯西数列。

这样的渐进稳定性和收敛性是等价的，即为充分必要条件。

简单来说：

$$数列 \{ x_n \} 收敛的充要条件是 \forall \epsilon \in \mathbb{R^+} , \exists N \in \mathbb{Z^+} , \forall n,m > N ( | x_m - x_n | < \epsilon )$$

戴德金原理

如果 $\mathbb{R}$ 的两个子集 $A$ 和 $B$ 满足：

$$\begin{aligned} &1. A \neq \emptyset \wedge B \neq \emptyset \\ &2. A \cup B = \mathbb{R}\\ &3. \forall x \in A , \forall y \in B ( x < y ) \\ \end{aligned}$$

那么， $\exists c \in \mathbb{R} ( \forall a \in A , \forall b \in B ( a \leq c \leq b) )$ 。

闭区间套定理

如果数列 $\{ a_n \}$ 和 $\{ b_n \}$ 满足：

$$\begin{aligned} &1. \forall n \in \mathbb{Z^+} ( a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n ) \\ &2. \lim \limits_{n \to +\infty} ( b_n - a_n ) = 0 \\ \end{aligned}$$

那么以下结论成立：

$$\begin{aligned} &1. \lim \limits_{n \to +\infty} a_n = \lim \limits =_{n \to +\infty} b_n (该极限值记为 c )\\ &2. 上述 c 是满足 \forall n \in \mathbb{Z^+} ( a_n \leq c \leq b_n ) 的唯一实数 \end{aligned}$$

确界存在原理

对于 $\mathbb{R}$ 的任何非空子集 $S$ ，若 $S$ 在 $\mathbb{R}$ 内有上界，则 $S$ 在 $\mathbb{R}$ 内有上确界。