数列与极限

数学不能凭 $\text{sense}$ ，必须要追求严谨。—— $Zq$

数列定义

一种从自然数（或正整数）到实数（或其它域）的映射 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ，这便是一个数列。一般来说，设 $a_n=f(n)$ ，则该数列记作 $\{ a_n \}_{n=0}^{+ \infty}$

定义一个数列 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 的子数列为一个数列 $g : L \to \mathbb{R}$ 满足 $L \subseteq \mathbb{N} \wedge \forall n \in L , g(n) = f(n) \wedge \mid L \mid = + \infty$ 。

极限

对于一个数列 $\{a_n\}_{n = 1}^{+ \infty }$ ，若 $\exists \delta \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \wedge N \in \mathbb{N}^+, s.t. \forall n > N , \mid a_n - \delta \mid < \epsilon$ ，我们就称 $\delta$ 为数列的极限，记作 $\lim\limits _{n \to + \infty} a_n = \delta$ ，或者 $a_n \to \delta(n \to + \infty)$ ，有时候括号内的可以省略。（上面的 $s.t$ 指 “使得”）

对于一个数列，如果它存在极限，我们就称这个数列收敛，否则就称其发散。

数列极限的几何意义

对于一个数列满足：

$$\begin{aligned} 当 n > N 时，均有不等式 | x_n - a | < \epsilon \end{aligned}$$

即表示：

$$\begin{aligned} \\所有下标大于 N 的 x_n 都落在 ( a - \epsilon , a + \epsilon ) 内， \\且落在 ( a - \epsilon , a + \epsilon ) 之外的点至多有 N 个（有限） \end{aligned}$$

如果存在某个值 $\epsilon_0$ 使得数列 ${x_n}$ 中有无穷个项落在 $( a - \epsilon_0 , a+ \epsilon_0)$ 之外，则 ${x_n}$ 一定不以 $a$ 为极限。

数列极限的性质：

唯一性

若一个数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列相等。

证明，即：若 $a_n \to b, a_n \to c$ 则 $b = c$

有：

$$\begin{aligned} \forall \epsilon > 0, \exists N_b > 0, s.t. \forall n > N_b, \mid a_n - b \mid < \epsilon \\ \forall \epsilon > 0, \exists N_c > 0, s.t. \forall n > N_c, \mid a_n - c \mid < \epsilon \\ \end{aligned}$$

记 $N = \max(N_b, N_c)$ 有：

$$\forall n > N, \mid a_n - c \mid + \mid a_n - b \mid < 2 \epsilon$$

由三角不等式 $\mid a \mid - \mid b \mid \le \mid a \pm b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid$ 得：

$$\mid b - c \mid < 2 \epsilon$$

由于 $\epsilon$ 可以无限小，故有 $b = c$

QED

有界性

如果一个数列收敛，则这个数列一定有界。

但如果一个数列有界，它不一定收敛 $e.g. {x_n}=(-1)^n$

保号性

若 $\lim \limits_{n \to +\infty} x_n = a > 0$ （或 $<0$ ） ，则对任何 $m \in ( 0 , a )( a < 0$ 时则是 $m \in ( a , 0 )$ ，存在 $N > 0$ ，使 $n > N$ 时有 $x_n > M$ （相应的是 $x_n<m$ ）

基本运算法则

• 若 $C$ 为常数，则 $\lim \limits_{n \to + \infty} C = C$
• 若 $C$ 为常数，则 $\lim \limits_{n \to + \infty} \frac{C}{n} = 0$
• 若 $| a | < 1$ ，则 $\lim \limits_{n \to +\infty} a^n = 0$
• 如果 $\lim \limits_{n \to +\infty} a_n = A , \lim \limits_{n \to + \infty} b_n =B$ 且 $C$ 为常数。则：

$$\begin{aligned} \\ \lim \limits_{n \to +\infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B \\ \lim \limits_{n \to +\infty} (a_n · b_n) = A · B \end{aligned}$$

子数列的极限

对于一个数列 $\{a_n\}{n = 1}^{+ \infty}$ 的子数列 $\{a{n_k}\}{k = 1}^{+ \infty}$ ，若 $a_n \to \delta$ ，则 $a{n_k} \to \delta$

证明：

对于所有 $k$ ，有 $n_k \ge k$ ，又因为 $\forall \epsilon > 0, \exists N > 0, s.t. \forall n > N, \mid a_n - b \mid < \epsilon$

故 $\forall \epsilon > 0$ ，取 $K = N$ ，有 $\forall k > K, n_k \ge k > K = N$ ，故 $\mid a_{n_k} - b \mid < \epsilon$ ，即 $a_{n_k} \to \delta$

QED

级数

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数，用 $OIer$ 的话来说就是数列的前缀和，即对于数列 $\{s _n\} _{n = 1}^{+ \infty}$ ，有 $s _n = \sum _{i = 1}^n a _i$

数列的和

对于数列 $\{a _n\} _{n = 1}^{+ \infty}$ ，它的和 $\sum _{n = 1}^{+ \infty} a _n$ 有意义，当且仅当它的级数数列 $\{s _n\} _{n = 1}^{+ \infty}$ 收敛

正确性显然

这里补充一个等比数列求和公式（设公比为 $q$ ）： $(1 - q)(1 + q + q^2 + … + q^n) = 1 - q^{n + 1}$

极限的线性可加性

设 $a_n \to a, b_m \to b$ ，则 $\lim \limits _{n \to + \infty} (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha a + \beta b$

证明：

$$\begin{aligned} & \mid \alpha a _n + \beta b _n - (\alpha a + \beta b) \mid \\ \le & \mid \alpha \mid \mid a _n - a \mid + \mid \beta \mid \mid b _n - b \mid \\ & = \mid \alpha \mid \epsilon ‘ + \mid \beta \mid \epsilon ‘ \end{aligned}$$

夹逼定理

设 $a_n \le b_n \le c_n$ ，且 $\lim \limits _{n \to + \infty} a_n = \lim \limits _{n \to + \infty} c_n$ ，则 $\lim \limits _{n \to + \infty} a_n = \lim \limits _{n \to + \infty} b_n$