“一步一步向前，直到终点”
在了解函数极限之前，我们需要知道一些概念。
拓扑空间
拓扑空间的邻域定义
设 $X$ 是一个集合， $\mathfrak{U}_x$ 为其子集族，其元称为 $x$ 的邻域，令 $\mathfrak{U} = \{ \mathfrak{U}_x \}_{x \in X}$ ，则 $( X , \mathfrak{U})$ 被称为一个拓扑空间。
邻域
邻域，是指集合上的一种基础的拓扑结构。
对于实数 $\alpha , \delta$ ：
定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的邻域，记做 $U(a, \delta)$
定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a 或 a < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心邻域，记做 $\mathring{U}(a, \delta)$
定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心左邻域，记做 $\mathring{U} _- (a, \delta)$
定义数集 $\{x \in R \mid a < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心右邻域，记做 $\mathring{U} _+ (a, \delta)$
函数的左极限和右极限统称为侧边极限
明显， $\lim \limits _{x \to {x _0} _+} f(x) = a$ 且 $\lim \limits _{x \to {x _0} _-} f(x) = a$ 与 $\lim \limits _{x \to x _0} f(x) = a$ 互为充要条件
性质
唯一性
若 $f(x) \to a(x \to r)$ 且 $f(x) \to b (x \to r)$ ，则 $a = b$
局部有界
若在某一个过程时 $f(x)$ 有极限，则存在一个时刻以后 $f(x)$ 有界。
即若极限 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一空心邻域上有界。
局部保号性
若 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$ ，且 $A > 0$ ，则 $\exists \delta > 0$ ，当 $x \in U^0 ( x_0 , \delta )$ 时， $ f(x)>0 $ 。
迫敛性
如果函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足：
- $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
- $\lim g(x) = A , \lim h(x) = A$
那么 $\lim f(x)$ 存在且为 $A$ 。